Chapitre 7: Estimation des modèles GARCH par quasi-maximum de vraisemblance

Mots clés: coefficient de Lyapounov, convergence et normalité asymptotique, ergodicité, estimation des ARMA-GARCH, estimation des GARCH, moindres carrés ordinaires (MCO) pour estimer un GARCH(p,q), quasi-maximum de vraisemblance (QMV), quasi vraisemblance, TCL (Théorème Central Limite) pour différence de martingale stationnaire.

Présentation: L'utilisation de la méthode du quasi-maximum de vraisemblance est particulièrement intéressante pour les modèles GARCH car elle est valide, asymptotiquement, pour tout processus GARCH strictement stationnaire (sous des conditions de régularité mineures), sans hypothèse de moments sur le processus observé. Par contraste, les méthodes de type moindres carrés vues au chapitre précédent nécessitaient des moments d'ordre 4 au moins. Dans ce chapitre, nous étudions en détail la méthode du quasi-maximum de vraisemblance conditionnelle (à des valeurs initiales). Dans un premier temps, nous nous limiterons aux GARCH purs (le processus observé est un GARCH). Nous allons présenter une procédure itérative de calcul de la log-vraisemblance gaussienne, conditionnellement à des valeurs initiales fixes ou aléatoires. Cette vraisemblance est écrite comme si la loi du bruit iid était normale centrée réduite (on parle de pseudo ou quasi-vraisemblance), mais cette hypothèse n'est pas nécessaire pour la convergence forte de l'estimateur. Elle a évidemment un effet sur la variance de la loi normale asymptotique de l'estimateur. Dans un deuxième temps, nous étendrons l'approche précédente aux modèles ARMA-GARCH. Les propriétés asymptotiques de l'estimateur du quasi-maximum du vraisemblance (QMV) sont établies en fin de chapitre.

Programme R utilisé pour la figure 2

Programme R utilisé pour le tableau 7.4 (estimation GARCH(1,1) de 11 rendements d'indices)

Données utilisées dans la partie 7.3 rendements journaliers de 11 indices