Chapitre 5: Identification

Mots clés: autocorrélation, autocovariance, bruit blanc fort ou faible, effet de levier, ergodicité, formule de Bartlett, hétéroscédasticité conditionnelle, leptokurticité, modèles ARMA et ARIMA, processus linéairement régulier, processus purement non déterministe, représentation de Wold, stationnarité stricte et au second ordre, volatilité, volatilité stochastique, volatility clustering.

Présentation: Dans ce chapitre, on s'intéresse au choix d'un modèle GARCH ou ARMA-GARCH approprié pour des observations d'un processus stationnaire centré. Une partie importante de la théorie de la finance repose sur l'hypothèse de marche aléatoire pour les prix. Lorsque les observations sont des variations de prix, le processus sous-jacent devrait donc être une différence de martingale, et devrait coïncider avec son processus d'innovation. Le première question traitée dans ce chapitre sera donc de tester cette propriété, ou du moins une conséquence de celle-ci: l'absence de corrélation. Le problème est loin d'être évident car les tests habituels de non corrélation sont valides sous des hypothèses d'indépendance. Celles-ci sont trop fortes pour les processus GARCH qui sont non corrélés mais dépendants. Si des autocorrélations empiriques significativement non nulles sont détectées, autrement dit si l'hypothèse de marche aléatoire pour les prix ne tient pas, le praticien cherchera à ajuster un ARMA(P,Q) aux données avant d'utiliser un GARCH(p,q) pour les résidus du modèle ARMA. Le problème est donc de déterminer des ordres plausibles pour le modèle ARMA(P,Q)-GARCH(p,q). Dans la méthodologie de Box et Jenkins consacrée aux modèles ARMA, on distingue plusieurs phases: identification, estimation, validation et prévision. Cette méthodologie peut être adaptée aux modèles GARCH. Supposons dans un premier temps que l'on dispose d'observations d'un GARCH pur. Le choix d'un petit nombre de valeurs plausibles pour p et q pour ces ordres peut se faire en plusieurs étapes, en utilisant divers outils: examen des fonctions d'autocorrélation empirique et d'autocorrélation partielle empirique des carrés du processus observé; Examen de statistiques fonctions des autocovariances empiriques des carrés (méthode du coin, epsilon-algorithme, ...); utilisation de critères d'information (AIC, BIC, ...); tests de significativité de certains coefficients; analyse de résidus. Certaines méthodes nécessitent l'estimation de modèles, et sont donc plutôt utilisées pour la phase de validation. De même certains tests, en particulier les tests de Wald ou du rapport de vraisemblance, n'ont pas leur place dans ce chapitre qui se limite à des outils ne nécessitant pas l'estimation de modèles compliqués. Le test du multiplicateur de Lagrange est par contre un outil intéressant pour la phase d'identification, car il est facilement mis en oeuvre à l'aide de régressions linéaires. Ce test fera l'objet de la dernière partie du chapitre.

Programmes R utilisés pour la figure 5.1 (autocorrélations des taux de change) , les figures 5.7 (autocorrélations des rendements des indices CAC et FTSE) et C.4 (autocorrélations des rendements des indices SP 500 et DAX)

Données utilisées pour les figures 5.7 et C.4 CAC 40 , DAX , FTSE , SP500 (obtenues sur yahoo).

Programme Fortran 90 pour les tests portmanteau (tables similaires à la table 5.7) : code F90 pour le compilateur Absoft (pour d'autres compilateurs fortran 90, il faut modifier le programme) , un fichier contenant les données FTSE de la table 5.7, exécutable du programme.

Programme Fortran 90 pour identifier des ARMA-GARCH par la méthode du coin (tables similaires aux tables 5.10-5.11) : code F90 pour le compilateur Absoft (pour d'autres compilateurs fortran 90, il faut modifier le programme) , un fichier contenant les données FTSE de la table 5.7, exécutable du programme.