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Chapitre 9: Autres estimateurs des GARCH
Christian Francq et Jean-Michel Zakoïan
Mots clés: comparaison avec le QMV, comportement asymptotique, condition d'optimalité, estimateur de Whittle, estimateur en une étape, erreur de spécification, estimateur
GARCH adaptatif, estimateur semi-paramétrique, LAN (Local Asymptotic Normality), moindres carrés pondérés, moindres valeurs absolues pondérées, MV pour les GARCH, QMV autopondérés, QMV non
gaussien pour les GARCH, test de Wald optimal, test du multiplicateur de Lagrange optimal, test du rapport de vraisemblance optimal.
Présentation:
La méthode d'estimation des modèles GARCH la plus couramment
utilisée est celle du QMV étudiée dans un chapitre précédent. Le
recours à cette méthode est justifié car nous avons vu que les
propriétés asymptotiques des estimateurs du QMV sont valides sous
des hypothèses minimes. En particulier, aucune hypothèse de moment
n'est requise sur le processus observé lorsqu'il s'agit d'un GARCH
pur.
Pourtant, la méthode du QMV présente divers inconvénients, qui
peuvent motiver le recours à d'autres approches. Ces inconvénients
sont les suivants :
(i) l'estimateur est non explicite et nécessite l'utilisation d'un algorithme numérique d'optimisation;
(ii) la normalité asymptotique de l'estimateur demande l'existence d'un moment d'ordre 4 pour le bruit iid; (iii) l'estimateur est en général inefficace;
(iv) la normalité asymptotique nécessite l'existence de moments dans le cas général ARMA-GARCH; (v) une spécification
paramétrique complète est requise.
Dans le cas ARCH, l'estimateur MCQG décrit dans un chapitre précédent répond de manière satisfaisante au point (i),
mais au prix de conditions de moments supplémentaires. L'estimateur
du maximum de vraisemblance (MV) présenté dans ce chapitre est une réponse aux points (ii) et
(iii), mais nécessite la connaissance de la densité f du bruit iid.
En effet, nous verrons que des estimateurs adaptatifs pour
l'ensemble des paramètres GARCH n'existent pas dans des modèles
semi-paramétriques généraux. Concernant le point (iii), nous verrons
que le QMV peut parfois être optimal en dehors du cas trivial où f
est gaussienne. Nous étudierons également l'estimateur MV dans la
situation (fort réaliste) où f est mal spécifiée. Nous verrons
également que la propriété dite LAN (pour Local Asymptotic
Normality) permet de montrer l'optimalité asymptotique locale de
procédures de tests fondées sur le MV.
En fin de chapitre nous présenterons des estimateurs moins standard que les précédents, mais
dont l'objectif est également d'apporter des solutions aux points (i)-(v).
Programme R (à compléter)