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Chapitre 9: Autres estimateurs des GARCH


Christian Francq et Jean-Michel Zakoïan
Mots clés: comparaison avec le QMV, comportement asymptotique, condition d'optimalité, estimateur de Whittle, estimateur en une étape, erreur de spécification, estimateur GARCH adaptatif, estimateur semi-paramétrique, LAN (Local Asymptotic Normality), moindres carrés pondérés, moindres valeurs absolues pondérées, MV pour les GARCH, QMV autopondérés, QMV non gaussien pour les GARCH, test de Wald optimal, test du multiplicateur de Lagrange optimal, test du rapport de vraisemblance optimal.
Présentation: La méthode d'estimation des modèles GARCH la plus couramment utilisée est celle du QMV étudiée dans un chapitre précédent. Le recours à cette méthode est justifié car nous avons vu que les propriétés asymptotiques des estimateurs du QMV sont valides sous des hypothèses minimes. En particulier, aucune hypothèse de moment n'est requise sur le processus observé lorsqu'il s'agit d'un GARCH pur. Pourtant, la méthode du QMV présente divers inconvénients, qui peuvent motiver le recours à d'autres approches. Ces inconvénients sont les suivants : (i) l'estimateur est non explicite et nécessite l'utilisation d'un algorithme numérique d'optimisation; (ii) la normalité asymptotique de l'estimateur demande l'existence d'un moment d'ordre 4 pour le bruit iid; (iii) l'estimateur est en général inefficace; (iv) la normalité asymptotique nécessite l'existence de moments dans le cas général ARMA-GARCH; (v) une spécification paramétrique complète est requise. Dans le cas ARCH, l'estimateur MCQG décrit dans un chapitre précédent répond de manière satisfaisante au point (i), mais au prix de conditions de moments supplémentaires. L'estimateur du maximum de vraisemblance (MV) présenté dans ce chapitre est une réponse aux points (ii) et (iii), mais nécessite la connaissance de la densité f du bruit iid. En effet, nous verrons que des estimateurs adaptatifs pour l'ensemble des paramètres GARCH n'existent pas dans des modèles semi-paramétriques généraux. Concernant le point (iii), nous verrons que le QMV peut parfois être optimal en dehors du cas trivial où f est gaussienne. Nous étudierons également l'estimateur MV dans la situation (fort réaliste) où f est mal spécifiée. Nous verrons également que la propriété dite LAN (pour Local Asymptotic Normality) permet de montrer l'optimalité asymptotique locale de procédures de tests fondées sur le MV. En fin de chapitre nous présenterons des estimateurs moins standard que les précédents, mais dont l'objectif est également d'apporter des solutions aux points (i)-(v).
Programme R (à compléter)